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主流科学方法 · 二 · 蒙特卡洛谬误

蒙特卡洛谬误核心要点总结

要点分类	核心内容
别称	赌徒谬误
背景/起源	源于1913年蒙特卡洛赌场轮盘赌“黑色连续出现26次”的著名事件，赌徒因错误认知而损失惨重。
核心思想	错误地将独立随机事件关联起来，认为过去的事件结果会影响未来事件发生的概率，期望短期内达到“平衡”。
关键谬误	误以为 `P(下一次结果 \| 历史记录) ≠ P(下一次结果)`，而实际上对于独立事件，两者相等。
与正确概念的混淆	常与大数定律（长期频率趋近理论概率）混淆，错误地用长期规律来预测短期走势。
应用举例	1. 抛硬币：连续多次正面后，认为下次肯定是反面。 2. 彩票：避开近期中奖号码，认为“冷门号”更可能中。 3. 生育：连续生几个女孩后，认为下一个肯定是男孩。 4. 篮球：球员连续投中后，认为其“手感热”，下次更可能进。

一、背景与时间

另一个更广为人知的名字：赌徒谬误。
核心背景：这个谬误源于人们对“概率”和“随机性”的直觉误解。人们常常错误地认为，一个随机事件的发生概率会受到之前一系列同类事件的结果的影响，目的是为了保持某种“平衡”或“公平”。
经典场景：赌场。例如，轮盘赌连续开出多次红色后，许多赌徒会坚信下一次开出黑色的“可能性更大”，因为他们认为红黑应该趋于平衡。
名称由来：“蒙特卡洛”得名于世界著名的摩纳哥蒙特卡洛赌场。1913年8月18日，该赌场的轮盘赌桌上发生了概率论史上一次著名事件：黑色连续出现了26次。在这期间，赌徒们输掉了数百万法郎，因为他们错误地认为在连续出现几次黑色后，红色“迟早会来”，并不断加倍下注红色。
时间：虽然这种谬误古已有之，但“蒙特卡洛谬误”这个名称因1913年的具体事件而被广泛使用。

二、核心思想与“公式”

核心思想

蒙特卡洛谬误的核心思想是：错误地将相互独立的随机事件关联起来，认为历史结果会影响未来事件的概率。

关键在于理解“独立性”。对于像抛硬币、轮盘赌这样每次结果都独立的事件来说：

每一次抛硬币，正面和反面的概率永远是50%/50%，与之前抛过多少次、什么结果完全无关。
硬币没有“记忆”，它不会因为之前连续出了10次正面，就“觉得”该出一次反面了。

“公式”解析

这个谬误本身没有正确的数学公式，但它所误解的“公式”可以这样表达：

谬误的、错误的想法： P(下一次是正面 | 连续10次正面) > P(正面)
◦ 解读：在已知连续出现10次正面的条件下，错误地认为第11次出现正面的概率大于正常情况下抛出正面的概率（比如50%）。 ◦ 实际上：对于独立事件，P(第11次是正面 | 连续10次正面) = P(正面) = 0.5。条件（连续10次正面）对第11次的概率没有任何影响。
与之混淆的正确概念：大数定律 ◦ 人们常常将蒙特卡洛谬误与“大数定律”混淆。 ◦ 大数定律指的是：在试验次数足够多的情况下，随机事件的频率会无限接近其理论概率。 ◦ 关键区别：大数定律描述的是长期（成千上万次）的统计规律，它是一个“回溯性”的定律。而蒙特卡洛谬误是“前瞻性”地错误预测短期内会发生的“纠正”。大数定律并不保证短期内会出现“平衡”或“补偿”。

三、应用举例

这个谬误不仅存在于赌场，也广泛存在于我们的日常生活中。

举例1：经典的硬币抛掷

情景：你抛一枚均匀的硬币，连续抛了5次，都是正面朝上。
谬误思维：“太不可思议了！已经连续5次正面了，根据概率，下一次是反面的可能性非常大！”
现实：第6次抛掷，正面和反面的概率依然是各50%。

举例2：彩票号码选择

情景：很多人选择彩票号码时，会刻意避开近几期已经出现过的号码。
谬误思维：“这个号码上周刚中过头奖，这周怎么可能再中？概率太低了。我得选一个很久没出现的‘冷门号’，它‘该中了’。”
现实：每一期开奖都是完全独立的随机事件。任何一个号码组合在中奖概率上都是完全相等的，与它的历史中奖记录无关。

举例3：生男生女的误解

情景：一对夫妇已经连续生了三个女儿。
谬误思维：“你们家已经三个女儿了，下一个肯定是儿子了！”
现实：每一次生育的性别在概率上是独立的（暂不考虑复杂的生物学因素，简化为50%/50%模型）。生第四个孩子是男孩的概率仍然是约50%，并不会因为前三个是女孩而增加。

举例4：篮球比赛的“热手效应”

情景：一个篮球运动员连续投中了3个三分球。
谬误思维（观众、解说员甚至球员自己）：“他手热得发烫！手感来了，下一个球很可能还会进，快把球传给他！”
现实：统计学研究表明，所谓的“热手效应”很大程度上是一种认知偏差。一次投篮的结果与下一次投篮是相互独立的。球员连续命中后，下一次命中的概率并不会显著高于他的赛季平均命中率。相反，有时因为防守加强或球员选择更困难的出手，命中率反而可能下降。

2025年11月28日

主流的科学方法 · 一 · 卡尔达诺公式

总结：概率论中的卡尔达诺思想

项目	说明
背景	分析赌博游戏中的个人决策，用数学理性分析“运气”
时间	16世纪（著作于1663年出版）
核心思想/“公式”	概率计算：P(事件) = 有利情况数 / 所有等可能情况总数期望值： (收益1 × 概率1) + (收益2 × 概率2) + …
应用举例	计算骰子点数概率、判断赌局是否公平、保险与彩票的定价基础

一、背景（概率论中的卡尔达诺）

在16世纪，赌博在欧洲非常流行，但人们对“运气”的理解完全基于迷信和经验。卡尔达诺本身是一位狂热的赌徒，但他同时也是杰出的数学家、医生。他试图用数学来理性地分析赌博游戏，从而获得优势。

核心问题：在一个掷骰子的游戏中，如何准确地计算出某个点数出现的可能性？赌注应该如何下才是“公平”的？

关键突破：在他死后才出版的著作《论赌博游戏》中，他首次提出了概率的基本概念，即所有可能结果中，有利于某个事件发生的结果数占总结果数的比例。这标志着人们开始用数学期望的思想来量化不确定性。

二、时间

大约16世纪中叶：卡尔达诺在1560年代左右写成了《Liber de Ludo Aleae》（《论赌博游戏》）。

1663年：该书在其去世后近百年才得以出版。此时，费马和帕斯卡已经通过通信独立地建立了概率论的基础，但卡尔达诺的工作显示了他非凡的先见之明。

三、“公式”本身（概率计算的思想）

卡尔达诺并没有留下一个像“E=mc²”那样的单一万能公式。他的贡献在于计算概率的方法论。我们可以用一个核心例子来体现“卡尔达诺公式”的思想：

计算一个公平骰子掷出某个点数的概率。

公式思想：

$P(Event) = \frac{\text{Number of favorable outcomes}}{\text{Total number of equally likely outcomes}}$

举例：计算掷一颗公平骰子得到点数为偶数的概率。

定义事件：事件A = {点数为偶数}，即结果为 {2, 4, 6}。
计算有利情况数：事件A有 3 种方式发生。
计算所有可能情况总数：一颗骰子有 6 个面，总共有 6 种等可能的结果。
应用思想计算概率：

$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

所以，概率是50%。

另一个关键贡献：期望值

Cardano also touched upon the concept of “Expected Value,” which represents the long-term average gain.

$\text{Expected Value} = (\text{Gain} \times \text{Probability of Win}) + (\text{Loss} \times \text{Probability of Loss})$

如果期望值为零，则游戏是“公平”的。

四、应用举例

举例1：赌注公平性判断

情景：赌掷一枚硬币。你下注10元押正面。如果正面朝上，你赢走全部赌注（20元）；如果反面朝上，你输掉自己的10元。这个赌局公平吗？
分析：
- 赢的概率
  $P(win) = \frac{1}{2}$
  ，赢的金额 = 20 – 10 = 10元（净收益）。
- 输的概率
  $P(lose) = \frac{1}{2}$
  ，输的金额 = -10元（净收益）。
- 计算期望值：
  $E = (10 \times \frac{1}{2}) + ((-10) \times \frac{1}{2}) = 5 - 5 = 0$
结论：期望值为0，这是一个公平的赌局。卡尔达诺的思想让你能理性判断一个赌局是否“划算”，而不是凭感觉。

举例2：彩票/保险的定价
现代彩票和保险业的商业模式完全基于概率和期望值计算，这是卡尔达诺思想的直接延伸。

彩票：彩票的期望值远低于票价（否则彩票机构会亏损），这就是为什么长期买彩票必亏的原因。例如，一张2元的彩票，其期望回报可能只有0.8元。
保险：保险公司通过大量数据计算某类事件（如车祸）发生的概率，从而设定一个保费，使得保险公司的期望收益为正，而对于个人来说，支付少量保费来规避巨大风险是值得的。