总结：概率论中的卡尔达诺思想
| 项目 | 说明 |
|---|---|
| 背景 | 分析赌博游戏中的个人决策，用数学理性分析“运气” |
| 时间 | 16世纪（著作于1663年出版） |
| 核心思想/“公式” | 概率计算：P(事件) = 有利情况数 / 所有等可能情况总数 期望值： (收益1 × 概率1) + (收益2 × 概率2) + … |
| 应用举例 | 计算骰子点数概率、判断赌局是否公平、保险与彩票的定价基础 |
一、背景（概率论中的卡尔达诺）
在16世纪，赌博在欧洲非常流行，但人们对“运气”的理解完全基于迷信和经验。卡尔达诺本身是一位狂热的赌徒，但他同时也是杰出的数学家、医生。他试图用数学来理性地分析赌博游戏，从而获得优势。
核心问题：在一个掷骰子的游戏中，如何准确地计算出某个点数出现的可能性？赌注应该如何下才是“公平”的？
关键突破：在他死后才出版的著作《论赌博游戏》中，他首次提出了概率的基本概念，即所有可能结果中，有利于某个事件发生的结果数占总结果数的比例。这标志着人们开始用数学期望 的思想来量化不确定性。
二、时间
大约16世纪中叶：卡尔达诺在1560年代左右写成了《Liber de Ludo Aleae》（《论赌博游戏》）。
1663年：该书在其去世后近百年才得以出版。此时，费马和帕斯卡已经通过通信独立地建立了概率论的基础，但卡尔达诺的工作显示了他非凡的先见之明。
三、“公式”本身（概率计算的思想）
卡尔达诺并没有留下一个像“E=mc²”那样的单一万能公式。他的贡献在于计算概率的方法论。我们可以用一个核心例子来体现“卡尔达诺公式”的思想：
计算一个公平骰子掷出某个点数的概率。
公式思想：
![\[P(Event) = \frac{\text{Number of favorable outcomes}}{\text{Total number of equally likely outcomes}} \]](https://www.aibeidan.cn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bfacc86ce5ed244d28bb07f12932be41_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
举例：计算掷一颗公平骰子得到点数为偶数的概率。
- 定义事件：事件A = {点数为偶数}，即结果为 {2, 4, 6}。
- 计算有利情况数：事件A有 3 种方式发生。
- 计算所有可能情况总数：一颗骰子有 6 个面，总共有 6 种等可能的结果。
- 应用思想计算概率：
![\[P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\]](https://www.aibeidan.cn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-97b1c140aafe45b569c65067c78af90a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
所以，概率是50%。
另一个关键贡献：期望值
Cardano also touched upon the concept of “Expected Value,” which represents the long-term average gain.
![\[\text{Expected Value} = (\text{Gain} \times \text{Probability of Win}) + (\text{Loss} \times \text{Probability of Loss})\]](https://www.aibeidan.cn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7c9e37ae75779f1c2a30da4d4c259b99_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
如果期望值为零，则游戏是“公平”的。
四、应用举例
举例1：赌注公平性判断
- 情景：赌掷一枚硬币。你下注10元押正面。如果正面朝上，你赢走全部赌注（20元）；如果反面朝上，你输掉自己的10元。这个赌局公平吗？
- 分析：
- 赢的概率
，赢的金额 = 20 – 10 = 10元（净收益）。![\[ P(win) = \frac{1}{2} \]](https://www.aibeidan.cn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-06e9a2e291ea023cc0f1b665ed6e5d72_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
- 输的概率
，输的金额 = -10元（净收益）。![\[P(lose) = \frac{1}{2} \]](https://www.aibeidan.cn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2b023f0f87ad7ee1a4ad63b1337a6150_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
- 计算期望值：
![\[E = (10 \times \frac{1}{2}) + ((-10) \times \frac{1}{2}) = 5 - 5 = 0 \]](https://www.aibeidan.cn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8bcdc617e2d2dd7e7e9d6692a4032cb9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
- 赢的概率
- 结论：期望值为0，这是一个公平的赌局。卡尔达诺的思想让你能理性判断一个赌局是否“划算”，而不是凭感觉。
举例2：彩票/保险的定价
现代彩票和保险业的商业模式完全基于概率和期望值计算，这是卡尔达诺思想的直接延伸。
彩票：彩票的期望值远低于票价（否则彩票机构会亏损），这就是为什么长期买彩票必亏的原因。例如，一张2元的彩票，其期望回报可能只有0.8元。
保险：保险公司通过大量数据计算某类事件（如车祸）发生的概率，从而设定一个保费，使得保险公司的期望收益为正，而对于个人来说，支付少量保费来规避巨大风险是值得的。